Завдання для підготовки до міської олімпіади з математики

 

6 клас     

 

1.     Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти всі такі п’ятицифрові числа.

 

2.     Скільки різних правильних дробів і неправильних  дробів можна скласти з чисел  3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23?

 

3.     Куб пофарбували з усіх боків, а потім розрізали на 1000 рівних кубиків. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані ? У скількох кубиках не пофарбована жодна грань?

 

4.     Сім гномів зібрали 29 грибів, причому жоден не приніс порожнього кошика. Довести, що хоча б двоє гномів зібрали однакову кількість грибів, якщо ніхто більше 7 грибів не знайшов.

 

7 клас               

1.     Знайти найбільше трицифрове число, яке при діленні на 43 дає остачу, що дорівнює частці.

2.   Двоє гравців почергово записують цифри – 1 до 8 – у смужку з 12 клітинок до тих пір, доки не отримають 12-цифрове число. Довести, що другий гравець завжди може забезпечити його подільність без остачі на 77.

3.   Після того як пішохід пройшов 1 км і половину шляху, що залишилася, йому ще залишилось пройти третину всього шляху і 1 км. Чому дорівнює весь шлях?

8 клас   

 

1.   Для деяких цілих чисел x та y число 3х+2у ділиться на 29. Чи ділиться на 29 число 23х+25у?

2. Серединний перпендикуляр діагоналі АС прямокутника АВСD перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ:МС=1:2. Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут.

 

3. Коли катер пропливав по річці вздовж міської пристані, від нього відв’язався рятувальний круг. Втрата була помічена капітаном лише через 15 хвилин. Повернувши назад, він наздогнав круг у 250 метрах від пристані. Обчисліть швидкість течії річки.

9 клас                      

1.     Навколо поляни стоять 12 будинків, пофарбованих у білий і червоний колір, в яких поселились 12 гномів. У кожного гнома непарна кількість друзів. В січні перший гном фарбує свій будинок в той колір, в який пофарбовані будинки більшості його друзів. В лютому це ж робить другий (за годинниковою стрілкою) гном, в березні – третій і т.д. Довести, що через декілька років колір будинку у кожного гнома буде залишатися одним і тим самим.